Méthode d'Euler

En mathématiques, il existe une seule fonction \(f\) égale à sa dérivée et qui vaut \(1\) en \(0\) : c'est la fonction exponentielle de base \(\text{e}\) qui sera étudiée en classe de terminale.
On peut dès cette année utiliser la méthode d'Euler pour obtenir une approximation de sa courbe représentative sur l'intervalle \([0\,;5]\).

1. Traduire les deux conditions données sur la fonction \(f\) en un problème de Cauchy.
2. Soit \(h\) un réel non nul proche de \(0\). Justifier que, pour cette fonction \(f\), on a, pour tout réel \(x\), \(f(x+h)=(1+h)f(x)\).
3. On choisit un pas égal à \(5\times 10^{-2}\).

    a. Quelle formule doit-on entrer dans la cellule \(\texttt{B3}\) pour compléter automatiquement la colonne par copie vers le bas ?
    b. Utiliser un tableur pour compléter le tableau jusqu'à \(x=5\), puis tracer le nuage de points correspondant.
    c. En observant la courbe obtenue, commenter l’expression souvent utilisée en sciences ou en économie : « une croissance exponentielle ».